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Kurt Gödel, 1906 - 1978, mathématicien et philosophe
né en Autriche. Il s’exile aux USA. Il a produit deux théorèmes d’incomplétude,
qu’il compléta par une troisième découverte : la non-contradiction
relative.
Le premier théorème d’incomplétude démontre que tout système formel
assez puissant pour inclure un minimum d’arithmétiques, de théorie
des ensembles ou de théorie des types comprend des propositions indécidables.
Le second théorème d’incomplétude démontre que tout système S vérifiant
certaines conditions minimales, la consistance de S ne peut être formellement
établie.
Le troisième théorème de non-contradiction relative démontre que si
la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de
l’axiome de choix et de l’hypothèse généralisée du continu est cohérente.
Ces travaux de Gödel datent de 1931. Ils marquaient les limites internes
du formalisme (le besoin d’un ou de plusieurs indécidables) et mettaient
fin aux espoirs d’une théorie finie des mathématiques comme celle
de Hilbert. Les conséquences des découvertes de Gödel sont les suivantes
:
- dès qu’un domaine des mathématiques est assez large (dès qu’il inclut
l’arithmétique), la démonstration de sa non-contradiction ne peut
se faire qu’à l’aide de systèmes plus puissants que lui ;
- le second théorème signifie qu’aucune démonstration vraiment satisfaisante
de non-contradiction ne sera jamais donnée ;
- le troisième résultat conduit à la notion de calculabilité utilisée
par Turing et reprise ensuite en informatique. Jean-Paul Delahaye
résume l’enjeu des ces théorèmes ainsi :
« L’histoire des mathématiques et des théorèmes de Gödel montrent
que nous ne pourrons jamais être certains de la non-contradiction
des théories que nous utilisons. Que nous soyons des machines ou pas
ne change rien : les théories mathématiques comme les théories physiques
ne proposent pas des certitudes, mais des instruments qui fonctionnent
plus ou moins bien, plus ou moins longtemps et qu’il faut ajuster
ou changer de temps en temps. Peut-être réussira-t-on un jour à démontrer
que nous ne sommes pas des machines, mais cela ne se fera pas sans
l’invocation des théorèmes d’incomplétude de Gödel ! » Du point de
vue des mathématiques il estime qu’il faut :
« Vivre avec les contradictions. ».
Jean-Paul Delahaye est Directeur adjoint du laboratoire d’informatique
fondamentale de Lille du CNRS. Cette citation est extraite d’un article
intitulé : « Statut mathématique des contradictions », publié dans
le numéro 241 de la Revue Pour la science de Novembre 1997.
Article disponible sur Internet : Pour
la Science n° 241
Une autre présentation des théorèmes de Gödel, trouvée sur Internet,
expose le débat de cette façon :
« 1 / Il existe des formules
dont on ne peut ni démontrer qu’elles sont vraies, ni qu’elles sont
fausses ;
2 / on ne peut pas savoir a priori si une formule est démontrable.
Pire, le deuxième point se prouve « en construisant une formule qui
affirme qu’elle est elle-même non démontrable ».
Ce que M. Lascar [professeur de mathématiques et directeur de recherche
au CNRS] compare au paradoxe d’Epiménide le Crétois qui prétendait
que tous les crétois étaient des menteurs. A la différence qu’ici,
ce n’est pas le langage humain, avec toutes ses nuances, ses interprétations
qui est utilisé, mais le langage mathématique, autrement appelé logique.
Ces résultats ont été démontrés par Gödel dans les années 30 et 50.
On les appelle les théorèmes d’incomplétude de Gödel. Ils prouvent
que toute théorie mathématique est soit incomplète, soit incohérente.
Ils remettent en question des certitudes bien établies. Ainsi les
maths ne forment pas un tout cohérent, il faut faire des choix (est-ce
loin du pari de Pascal ?). » ..... / .....
« La contradiction
touche aussi la logique ... Et alors, où est le problème ? Est-ce
si décourageant de penser que les maths puissent se contredire ? Que
le vrai ET le faux sont relatifs ? Que l’on peut répondre oui ET non
à une même question ? Non, ce n’est pas décourageant, c’est exhaltant
au contraire, c’est la preuve qu’il n’y pas de vérité absolue ...
».
Pour chercher sur Internet : ohoui (at) kafkaiens.org
ou ahnon (at) kafkaiens.org KaFkaïens
Magazine
Sur Gödel avec le magazine Pour la science
Gödel ???
et sur le site de KaFkaïens Magazine
KaFkaïens Magazine
Sur l'incidence de la Thèse de Church sur l'incomplétude
de Godël
La thèse de Church etl'incomplétude
de Gödel
GÖDEL Kurt Philosophe et logicien 1906 1978
Kurt Philosophe et logicien 1906 1978
STATUT MATHÉMATIQUE DES CONTRADICTIONS par Jean-Paul Delahaye
LOGIQUE ET CALCUL
Gödel et les limites de la logique PRÉSENCE DE L'HISTOIRE
par JOHN DAWSON
Gödel
et les limites de la logique
Présentation du théorème de Gödel par Francine
Jaulin-Mannoni
Présentation du théorème
de Gödel par Francine Jaulin-Mannoni
Plusieurs textes sur ces thèmes sont présents ici :
Présentation
du Théorème de Gödel par Francine Jaulin-Mannoni
La thèse de Church entraîne
l'incomplétude de Gödel par Bruno Marchal
Kurt GÖDEL Philosophe et logicien 1906-1978
Gödel et les limites de
la logique PRÉSENCE DE L'HISTOIRE par JOHN DAWSON
STATUT MATHÉMATIQUE DES CONTRADICTIONS
LOGIQUE ET CALCUL Jean-Paul Delahaye
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